摘要：在教学极限的概念和定积分的定义等涉及图形的无限分割或与操作次数有关的数学内容时，借助几何画板的深度迭代功能，能快速制作出集动态性、交互性、实用性于一体的辅助教学课件，有效突破了教学难点。
关键词：几何画板；深度迭代；数学课件参考论文
几何画板操作简单、功能强大，是广大数学教师的首选教育软件。笔者在用几何画板辅助教学的实践中，深感几何画板的深度迭代功能十分强大。现将有关辅助教学课件的设计思想和制作步骤与大家分享，以期抛砖引玉，共同提高。
● 深度迭代功能
在数学上，迭代是指把某些数学结构、计算或其他操作的过程重复应用于先前的相同操作的结果。这些操作必须根据某些输入来定义输出，迭代则是用每一步的输出作为下一步的输入。几何画板中的迭代是按一定的迭代规则，从原象到初象反复映射的过程。原象是产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。初象是原象经过一定规则变换操作而得到的第一个象。几何画板中的深度迭代是一种带参数的迭代，通过改变参数的值可改变迭代深度，从而使我们能对某些数学对象反复进行相同操作的工作变得简单易行，可实现人机交互、动态变换。
● 课件制作案例
1.动态演示圆的内接与外切正多边形
（1）设计思想
在高中数学极限的概念教学或选修课《数学史选讲》中，一般都会讲到我国古代数学家刘徽的“割圆术”，其体现了朴素的极限思想。在教学中我们若用几何画板动态演示圆的分割过程（如图1），随着分割的份数n的值越来越大，圆的内接和外切正多边形越来越接近于圆，并动态计算圆周率的精确度也越来越高，这有助于提高学生的学习兴趣和对极限概念的理解。
（2）制作步骤
①画一个圆，在圆上取一点A，圆心标记为O。将角度、距离和其他的精确度设为“十万分之一”，新建参数n，参数值为6，计算和的值。
②双击圆心O，将点A按标记角度旋转得点，构造线段、，过作线段的垂线a，将点A按标记角度旋转得点B，构造射线OB，与直线a交于点C。
③双击线段，选中点C，选择“变换→反射”，得点，构造线段， 隐藏直线a，射线OB，线段。
④依次选中点A和参数n=6，按住shift键不放，选择“变换→深度迭代”，在迭代对话框中，原象A的初象选，单击迭代按钮，即得圆的内接和外切正六边形。
⑤度量O、A两点间的距离和线段、的长度，然后分别计算内接正多边形周长和外切正多边形周长除以直径的值，将其计算结果标签分别改为“的近似值1”和“的近似值2”。
⑥隐藏点A、、C、、O的标签，并将其点型设为稍小，隐藏无关点和一些度量值，图1是分割份数n=9时的情形。
2.动态演示曲边梯形的分割过程
（1）设计思想
高中数学新课程中引入了极限与微积分的基础知识，其中定积分的概念历来是一个教学难点。而借助几何画板的动态作图（如图2），对位于区间上，由函数与x轴围成的曲边梯形进行任意n等份的分割，随着分割的份数n的值越来越大，所有小矩形的面积之和无限接近所求曲边梯形的面积。生动形象地诠释了分割→以直代曲→求和→取极限的微积分基本思想，为学生理解和学习定积分这一抽象定义作了直观形象的铺垫与解释.
（2）制作步骤
①绘制函数的图像，隐藏网格，将原点标记为O，在x轴上任意作2个点A、B。新建一个参数n，值为4。计算， 选中 标签，单击右键，在属性对话框数值页面中，将其精确度设置为“十万分之一”。
②双击点A，将点B按标记比值缩放得点，分别选中A、，度量A、的横坐标，，并计算、，绘制，。
③过点C作x轴的平行线，交直线于点E，隐藏平行线和直线，构造线段、、、，构造四边形内部，并度量四边形的面积，同时选中四边形内部和面积的度量值，再选择“显示→颜色→参数”，选择双向。
④依次选择“”，点A和“”，同时按住shift键不放，选择“变换→深度迭代”，在迭代对话框中，原象n的初象选，原象A的初象选点，单击迭代按钮，即得4个小矩形。隐藏无关的点和度量值等对象，图2是n=14时的情形。
3.动态演示用正弦线画函数的图像
（1）设计思想
利用正弦线画函数
的图像，用传统手工画图费时费力，且不便展现随意改变单位圆的等分份数及平移正弦线的动态效果。现用几何画板可实现动态演示单位圆的等分、平移正弦线、描点连线的作图过程（如图3），输入参数n的值越大，单位圆等分的份数越多。单击“平移描点”按钮，动态演示单位圆的分割及将正弦线依次向右平移到相应的位置，单击“平滑连线”按钮，动态演示一支画笔从左到右将点连成平滑的曲线，单击“做图复位”按钮，动态演示一支画笔从右到左将正弦线和图像擦除。整个课件交互性、动态性、实用性强，可随意更改单位圆的等分份数，可反复演示作图过程，有助于学生深刻理解正弦曲线的做图原理与过程。
（2）制作步骤
①选择“自定义工具栏→07新坐标系→新坐标系工具”（几何画板5.06中文版），建立坐标系，在坐标系控制菜单中选三角坐标系、隐藏网格，拖动x轴上的单位点，适当放大单位长度，选中x轴两端的控制点，构造线段，线型选细线，颜色选黑色。绘制点F（6.28，0），连接OF，在线段OF上取一点G，度量点G的横坐标得。依次选中原点O和单位点，选择“变换→标记向量”，在x轴负半轴上取一点，选择“变换→平移”，得点，构造以为圆心，为半径的圆，圆上任取一点H。
②新建3个参数，n=12，表示等分份数，m=1，表示迭代次数，x=0，表示迭代初始点的横坐标。将角度的单位改为弧度，计算弧度除以n，并将计算结果标签改为p，得弧度。计算的值，得，在迭代次数m=1的标签上单击鼠标右键，选编辑参数，计算弧度的值，得到新的m的值，即为迭代次数。
③双击点，将圆上点H按标记角度弧度旋转得点。度量点H的纵坐标，绘制点。构造线段，线型为实线、细线，颜色为黑色，构造线段HK，线型为虚线。分别过点K、H作x轴的垂线，构造垂线段并隐藏垂线。
④依次选中H点，x=0和迭代次数m=11（m的值随G点改变）的标签，按住shift键不放，选择“变换→深度迭代”，在迭代对话框中，H点的初象选，x=0的初象选，单击迭代按钮。
⑤选中点H，选择“编辑→从圆分离点”，再选中点，选择“编辑→合并点”，将点H与点合并，隐藏点K、，隐藏坐标系控制菜单和迭代产生的表格。
⑥计算弧度，将结果标签改为angle，双击圆心，将按标记角度angle旋转得点M，过M点作x轴的垂线段MN，线型为实线、中等，颜色为红色。计算的值，绘制点，构造线段LG。
⑦在线段OF上取一点P，度量点P的横坐标，计算，绘制点 依次选中点P、Q，选择“变换→自定义变换”，名称取默认值，构造线段OQ，选择“变换→P→Q的变换”，并将线段OQ隐藏。
⑧标记向量OF，依次选中点G、F，选择“编辑→操作类按钮→移动”，所得按钮标签改为“移线描点”，依次选中点P、F，选择“编辑→操作类按钮→移动”，所得按钮标签改为“平滑连线”，修改点Q的标签，输入英文状态下的“！”，字型为“windings2”，字号为“48”，加粗，颜色为深绿色，这时点Q的标签为一支画笔。
⑨依次选中点G、O，选择“编辑→操作类按钮→移动”，得“移动G→O”的一个按钮。依次选中点P、O，选择“编辑→操作类按钮→移动”，得“移动P→O”的一个按钮。选中这两个按钮，选择“编辑→操作类按钮→系列”，并将所得新按钮的标签改为“做图复位”，将原两个按钮隐藏。隐藏无关的点与度量值，隐藏、F两点的标签，最后效果如图3所示。
由以上案例可以看出，灵活运用几何画板的深度迭代功能制作课件、辅助教学，能有效弥补传统教学手段的不足，在帮助学生理解概念、性质，诠释抽象定义，印证数学猜想，揭示数学本质等方面具有很好的作用。
